Лабораторная работа №2
Определение отношения теплоемкостей
P
V
C
C
=
по скорости звука в газе
Цель работы: научиться измерять скорость звука в воздухе
методом стоячей волны и определять отношение молярных
теплоемкостей воздуха.
Оборудование: функциональный генератор ФГ-100,
осциллограф универсальный С1-159М, пластиковая труба с
подвижным поршнем, измерительная линейка, источник звука
(телефон), приемник звука (микрофон), соединительные провода,
термометр.
Вопросы входного контроля
1. Опишите модель идеального газа. Чему равна внутренняя
энергия идеального газа. Что такое число степеней свободы молекул.
2. Поясните уравнение Клапейрона-Менделеева.
3. Дайте определение теплоемкостей (удельной и молярной).
4. Дайте определение изопроцессам и адиабатическому процессу.
5. Дайте определение механической волны. Основные
характеристики механической волны (длина волны, период,
частота, амплитуда, фаза). Понятие резонанса в упругой среде.
Краткая теория
Проблема определения давности повреждений широко
освещается в современной литературе и рассматривается
судебными медиками в самых различных аспектах. Но, несмотря
на значительное число применяемых методов
морфофункционального, биохимического, биофизического и
другого плана, решение этого вопроса вызывает значительные
затруднения.
Наиболее перспективным является изучение биофизического
состояния биологических тканей в аспекте диагностики давности
механической травмы. Одной из биофизических характеристик, в
настоящее время весьма мало изученной, является теплоемкость
тканей тела человека.
2
Теплоёмкость тела человека это физическая величина,
равная количеству теплоты, которое необходимо подвести к
предмету из тела человека, чтобы его температура возросла на
один градус Кельвина. Удельная теплоемкость тела человека с =
3470 Дж/(кг·К). Это значение определено при нормальных
условиях. Удельная теплоемкость тела человека переменная
величина. Она зависит от температуры и агрегатного состояния
(твердое, жидкое, газообразное).
Основные понятия
Состояние газа определяется с помощью трех
термодинамических макропараметров состояния: давления Р,
температуры Т и объема V.
Газ, в котором можно пренебречь силами межмолекулярного
взаимодействия и размерами молекул, называется идеальным.
Состояние идеального газа описывается уравнением
Клапейрона-Менделеева:
m
PV R T R T
= =
, (1)
где m масса газа; µ молярная масса газа; R = 8,31 Дж/моль·К
универсальная газовая постоянная, ν количество вещества.
Внутренняя энергия идеального газа является функцией
состояния, т.е. зависит только от температуры:
(T) 2
mi
U R T
=
, (2)
где i число степеней свободы поступательного и вращательного
движения молекул газа.
Изменение энергии при теплообмене определяется
количеством тепла Q. Количество тепла, необходимое для
повышения температуры тела на один градус Кельвина,
называется теплоемкостью С:
dQ Дж
CdT К

=

. (3)
Теплоемкость тела С связана с удельной теплоемкостью с,
имеющей размерность Дж/кг·К, соотношением С = m·c, где m
масса тела. Для газов принято пользоваться молярной
теплоемкостью Cµ.
3
Теплоемкость одного моля газа 𝑚
𝜇= 1 называется молярной
теплоемкостью, а теплоемкость 1 кг вещества удельной
теплоемкостью с. Молярная теплоемкость Сµ имеет размерность
Дж/моль·К и связана соотношением с удельной теплоемкостью
Сµ = с·µ. Теплоемкость С связана с удельной теплоемкостью с и
молярной теплоемкостью Сµ соотношением:
m
С m c C C

= = =
, (4)
Первое начало термодинамики устанавливает, что
количество теплоты dQ, переданное какой-либо системе,
затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dU и работу
dA, совершаемую системой против внешних сил:
dQ dU dA=+
. (5)
С учетом выражения (2) и определения для элементарной
работы dA = PdV, первое начало термодинамики для идеального
газа имеет вид:
2
mi
dQ R dT P dV
= +
. (6)
Разделив уравнение (5) на dT и учитывая формулу (3), получим:
. (7)
Из этого следует, что теплоемкость газа существенно зависит
от способа изменения состояния газа.
Основные процессы изменения состояния одного моля газа
1. Изохорический процесс (V = const).
Так как элементарная работа газа dA = P·dV, то в этом случае
А = 0. При этом (5) перепишем в виде dQ = dU, следовательно, с
учетом (2) молярная теплоемкость при изохорном процессе равна:
.2
VV
dU i
C C R
dT
==
, (8)
где величину CV называют теплоемкостью 1 моля газа при
постоянном объеме.
2. Изобарический процесс (Р = const).
В изобарическом процессе подводимое тепло расходуется и
на увеличение внутренней энергии, и на совершение газом работы
4
по расширению, против внешнего давления. В этом случае первое
начало термодинамики запишется следующим образом:
dQ dU P dV= +
,
поделив на dT, получим:
dQ dU P dV
dT dT dT
=+
. (9)
Величина dQ/dT, отвечающая постоянному давлению,
определяет теплоемкость газа при постоянном давлении СP.
Величина dU/dT, согласно (8), равна CV. Поэтому получаем:
PV
P dV
CC dT
=+
,
или с учетом того, что
P dV R
dT
=
(из уравнения (1) для 1 моля газа)
2
,2
P V P i
C C R C R
+
= + =
,
или
PV
C C R−=
. (10)
Следовательно, СР > CV на величину R, т.е. энергетически
более выгодным является изохорный процесс. Соотношение (10)
называют уравнением Майера.
3. Изотермический процесс (Т = const).
При изотермическом процессе все передаваемое газу
количество теплоты идет на совершение газом работы (dQ = dA).
Тогда из определения следует, что теплоемкость газа в
изотермическом процессе бесконечно велика CT →∞.
4. Адиабатический процесс это процесс, происходящий без
теплообмена с окружающей средой, т.е. dQ = 0. Первое начало
запишется:
0dU dA=+
или
dA dU=−
,
т.е. работа расширения или сжатия газа происходит за счет
внутренней энергией газа. Теплоемкость в этом случае равна
нулю.
Уравнение адиабаты можно вывести, исходя из первого
начала термодинамики и условия, что dQ = 0 с учетом (8):
0
V
dQ C dT P dV= + =
. (11)
5
Дифференцируя уравнение Клапейрона-Менделеева для
1 моля, PV = RT, получаем:
P dV V dP R dT + =
,
или
P dV V dP
dT R
+
=
. (12)
Подставляя выражение (12) в уравнение (11), получим:
0
V
PC
CP dV V dP P dV
RR
+ + =
. (13)
Преобразуя соотношение (13), с учетом уравнения Майера
приходим к уравнению:
( )
0
VV
C R P dV C V dP+ + =
,
или
0
PV
C P dV C V dP + =
,
или
0
P
V
CP dV V dP
C + =
.
Обозначим величину
P
V
C
C
=
, в результате переходим к
уравнению:
0P dV V dP
+ =
,
или
0
dV dP
VP
+ =
.
Интегрируя, получаем:
ln lnV P const
+ =
,
или
( ) ( )
ln lnPV const
=
.
Потенцируя в итоге, имеем:
PV const
=
. (14)
Это выражение получило название уравнения Пуассона.
Величина γ (гамма) называется показателем адиабаты.
6
Определение скорости звука в газе методом стоячих волн
В работе требуется найти отношение удельных
теплоемкостей воздуха. Поскольку воздух состоит в основном из
смеси двухатомных газов (водорода, кислорода, азота) и каждой
молекуле приписывают пять степеней свободы, то отношение
теплоемкостей для воздуха будет равно γ = 1,4. Это довольно
хорошо согласуется по порядку величины с экспериментальными
данными, полученными для чистого воздуха, свободного от CO2 и
паров воды при нормальных условиях. В данной работе
определяется отношение γ для воздуха по скорости звука в нем.
Звуковые волны в газах и жидкостях являются продольными
и представляют собой последовательные сгущения и разряжения
частиц среды. Распространение звука в первую очередь
характеризуется его скоростью. Скорость распространения волн в
упругой среде не зависит от их частоты. Это в полной мере
относится и к звуковым волнам. Таким образом, звуковые волны
разной длины и, значит, разной частоты распространяются в
воздухе с одной и той же скоростью. Мы не могли бы получать
удовольствие от музыки, если бы это было не так: сначала до нас
доходили бы звуки одной частоты (одного тона), а затем другой.
Только для многоатомных газов и жидкостей была обнаружена
дисперсия при ультразвуковых частотах.
Измерение скорости звука используется для определения
многих свойств веществ, таких как сжимаемость газов и жидкостей,
упругости твёрдых тел. Измерение малых изменений скорости звука
является чувствительным методом определения наличия примесей в
газах и жидкостях. В данной работе предлагается определить
скорость звука в воздухе методом стоячих волн.
Стоячая волна образуется при наложении двух встречных
плоских волн с одинаковой амплитудой. Практически стоячие
волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на
преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, образуют
стоячую волну. Это частный случай интерференции волн.
Положим, что смещение частиц среды, вызванные прямой и
обратной волной, задаются уравнениями:
( )
10
cosS A t kx
=
и
( )
20
cosS A t kx
= +
, (15)
7
где A0 амплитуда колебаний частиц (A1=A2=A0), ω = 2π/T
частота колебаний, k = 2π/λ волновое число.
В результате интерференции прямой и обратной волн,
колебание в точке x будет происходить по закону:
12
S S S=+
или
( ) ( )
0
2 cos cosS A kx t
=
, (16)
Так как из тригонометрии:
( )
cos cos cos sin sin
+ =
,
( )
cos cos cos sin sin
= +
.
Данное уравнение (16) есть уравнение стоячей волны.
Рис. 1. Графическое изображение стоячей волны.
Длина стоячей волны λст равна половине длины бегущей
волны λбег. Амплитуда стоячей волны зависит от x:
( )
0
2 cosА A kx=
.
Точки, в которых амплитуда максимальна A = A1 = A2
называются пучностями стоячей волны, точки, в которых
амплитуда равна нулю A = 0 называются узлами стоячей волны.
Простейший пример стоячей волны плоская звуковая
стоячая волна внутри наполненной воздухом трубы, например,
органной, или такой как в данной лабораторной работе.
Основными элементами экспериментальной установки (рис.
2) являются труба-резонатор (1) в виде цилиндрического
волновода, внутри которой свободно перемещается поршень (3) с
измерительной линейкой на конце которого закреплён источник
звуковых сигналов телефонная мембрана (4), совершающая
колебания от переменного тока, который задаётся генератором
8
звуковых сигналов (5). На другом конце волновода размещен
микрофон (2), соединенный с осциллографом (6).
Звуковые стоячая волна образуется от идущей от телефонной
мембраны прямой волны (сплошная линия рис. 1), и отраженной
от микрофона (пунктирная линия рис. 1), фаза которой изменилась
на обратную, так как отражение происходит от среды акустически
более плотной.
Рис. 2. Схема экспериментальной установки.
Считаем, что отраженная волна не воздействует на источник
колебаний. При определенных условиях в трубе возникает
акустический резонанс. Это происходит тогда, когда частота
звуковых колебаний телефонной мембраны (внешняя, вынуждающая
сила) приближается к одной из собственных частот воздушного
столба в трубе. Эта частота называется резонансной частотой. При
этой частоте звучание воздушного столба в трубе максимально.
Если медленно двигать поршень с телефонной мембраной к
микрофону, то можно добиться резонанса, то есть максимального
звучания воздушного столба, заключенного в трубе, при этом будет
слышно последовательно усиление и ослабление звука. В этом случае
в трубе образуются стоячие волны, причем у микрофона всегда будет
узел, а у конца, где находится телефонная мембрана, пучность.
Для наблюдения акустического резонанса необходимо,
чтобы длина столба воздуха между микрофоном и динамиком
удовлетворяла условию:
( )
0
21
2
Ln
=
, (16)
где n = 1, 2, 3 т.е. укладывалось нечетное число полуволн
стоячей волны.
Расстояние L межу двумя соседними пучностями будет равно
длине стоячей волны λ0. Длина падающей звуковой волны λ = 0.
9
Зная частоту колебаний ν, которая выставлена на звуковом
генераторе и определив длину звуковой волны λ (получая ряд
последовательных резонансов) определяют скорость
распространения звука по формуле:
=
, (17)
При постоянной длине столба воздуха L1 изменяют частоту
звуковых колебаний от 200 Гц и выше, определяя частоту, при
которой впервые в трубе возникает резонанс. Очевидно, что в этом
случае n = 1 и L1 = λ0/2 откуда λ0 = 2L1. Зная L1 = const и найдя
соответствующую частоту ν, находят скорость
:
01
24L
= = =
. (18)
Данные формулы будут использованы для определения
скорости звука в воздухе в упражнении 1 и упражнении 2.
Природа звука в газе
Рассмотрим более подробно вопрос о скорости
распространения звука. Звуковые волны являются продольными и
представляют собой последовательные сжатия и разрежения
частиц газа. Скорость распространения продольного импульса
волн υ в упругом стержне определяется по формуле:
E
=
. (19)
где Е модуль упругости (Юнга), ρ плотность.
Для деформируемого упругого стержня длиной l модуль
Юнга
/
Ell
=
, где σ упругое напряжение в стержне, Δl/l
относительное удлинение.
Для случая ограниченного объема газа напряжение σ должно
быть заменено на дополнительное давление P, которое вызывает
сжатие газа. Допуская, что выделенный объем газа сжимается
только вдоль своей длины при неизменном поперечном сечении,
относительную линейную деформацию ∆l/l можно заменить
относительной объемной деформацией V/V.
Полагая изменения объёма и давления бесконечно малыми,
обозначим их dP и dV, и принимая во внимание, что приращение
объема и приращение давления всегда имеют разные знаки
10
(увеличение давления соответствует уменьшению объёма), для
модуля упругости газа можно написать равенство:
dP V
EdV
=−
. (20)
Величина dP/dV зависит от характера процесса сжатия (либо
расширения) газа.
Как известно, при сжатии воздуха увеличивается давление и,
значит, растет упругость. Кроме этого воздух, как и любой газ, при
сжатии нагревается, а при расширении охлаждается. При сжатии
за счет увеличения температуры упругость возрастает, а при
расширении-уменьшается. Дополнительное изменение упругости
воздуха при сжатии может возникнуть только в том случае, если
сжатие происходит так, что выделившаяся тепловая энергия не
успеет рассеяться. Если процесс расширения осуществлять
достаточно быстро, то возникшая разность температур не успевает
выровняться.
Процесс, при котором не происходит теплообмена с
окружающей средой, называется адиабатическим.
Дифференцируя уравнение Пуассона для адиабатического
процесса (14), получим:
10V dP V P dV

+ =
, (21)
откуда
dP P
dV V
=
. (22)
Подставляя это выражение (22) в равенство (20), для модуля
упругости получим:
EP
=
. (23)
Плотность газа ρ можно получить из уравнения (1):
mP
V R T
==
. (24)
Подставляя выражения (23) и (24) в формулу (19) получим:
RT

=
.
11
Откуда:
2
RT

=
. (24)
Таким образом, для определения показателя адиабаты γ
достаточно измерить абсолютную температуру газа и скорость
распространения звука в нем (молярная масса газа считается
известной). В нашей работе газом является воздух и его молярная
масса
= 29 кг/кмоль. Скорость звука
измеряется с помощью
экспериментальной установки, описанной выше.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Определение
при постоянной частоте
звуковых колебаний (ν = const).
1. Включить в сеть электронный осциллограф ЭО и звуковой
генератор ЗГ. Поршень с телефоном размещается у открытого
конца трубы.
2. Спустя 2-3 минуты установить на ЗГ частоту колебаний
ν = 900 Гц или ν = 1000 Гц (по указанию преподавателя).
3. Подобрать напряжение на выходе генератора, чтобы на
экране осциллографа наблюдались колебания достаточной
амплитуды.
4. Плавно отодвигая поршень от открытого конца,
последовательно пройти через все доступные для наблюдения
точки резонанса, отмечая по линейке стержня соответствующие
положения Ln поршня с телефоном. Данные занести в таблицу 1.
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений
№ п/п
Ln (м)
l (м)
T(K)
(Гц)
(м/с)
( %)

1
1000
2
3
4
5
Ср.
=
5. Вычислить расстояния между двумя последовательными
положениями поршня, при которых возникает резонанс:
n1nn LLl = +
.
121 LLl =
;
232 LLl =
;
343 LLl =
;
454 LLl =
.
l
12
6. Найти среднее значение
l
и вычислить скорость звука υ по
формуле:
= l2
.
7. Измерить температуру окружающего воздуха и найти
значение γ для воздуха по формуле:
RT
возд
2
=
,
где
Кмоль
Дж
R
=31,8
;
моль
кг
возд 029,0=
.
8. При следующих значениях абсолютных погрешностей:
Δl = 0,005 м; Δν = 25 Гц; ΔТ = 1К, найти относительную
погрешность измерения
:
T
T
l
l
+
+
=
=
22
.
9. Найти максимальную погрешность по следующей
формуле:
=
.
10. Ответ записать в виде:
=
.
Упражнение 2. Определение
при постоянной длине
воздушного столба (L = const).
1. Установить поршень с телефоном на расстояние
L = 0,15 0,20 м от открытого конца трубы.
2. Увеличивая частоту ЗГ от ν = 200 Гц и выше, определить
частоту, при которой в трубе впервые возникает резонанс. Для
уменьшения влияния случайных ошибок на результат измерения
частоты, опыт повторить несколько раз. Найти среднее значение
частоты
. Данные занести в таблицу 2.
Таблица 2
Результаты измерений и вычислений
№ п/п
(Гц)
L (м)
T (K)
(м/с)
(%)

1
2
3
Ср.
=
13
3. Зная L, по формуле
= L4
найти значение скорости
звука.
4. Найти значение
для воздуха по формуле:
RT
возд
2
=
.
5. При следующих значениях абсолютных погрешностей:
Δl=0,005 м; Δν=25 Гц; ΔТ=1К, найти относительную
погрешность измерения
:
T
T
L
l
+
+
=
=
22
.
6. Аналогично п. 9 и п. 10 упражнения 1 найти погрешность
и записать ответ.
7. Сравнить полученные в двух упражнениях значения
с его
теоретическим значением, вычисленным по формуле
2i
i
+
=
,
если известно, что воздух приближенно можно рассматривать как
идеальный двухатомный газ (i = 5).
Контрольные вопросы
1. Применение I начала термодинамики к различным
процессам.
2. Понятие теплоемкости. Вывод уравнения Майера.
3. Определение скорости звука методом стоячих волн.
Уравнение стоячей волны.
4. Природа звука в газе. Расчетная формула для нахождения
по скорости звука в газе.
5. Основные характеристики механической волны лина
волны, период, частота, амплитуда, фаза). Понятие резонанса в
упругой среде.
Задачи
1. Найти молярный объем 1 кмоля идеального газа при
нормальных атмосферных условиях: p = 101 325 Па, t = 0 °C.
2. Для определения скорости звука в воздухе методом
акустического резонанса используется труба с поршнем и
звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние
между соседними положениями поршня, при котором
14
наблюдается резонанс на частоте ν = 2500 Гц, составляет l = 6,8 см.
Определите скорость звука в воздухе.
3. В цилиндре под поршнем находится двухатомный газ массой
m = 20 г. Для повышения температуры газа на ΔT = 10 К
необходимо следующее количество теплоты: Q = 130 Дж при
закрепленном поршне. Определите молярную массу газа (μ).
Рекомендуемая литература
1. Эйдельман Е.Д. Физика с элементами биофизики
[Электронный ресурс]: учебник - М.: ГЭОТАР-Медиа, 2013. -
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970425244-
SCN0006.html [Глава 4, Раздел 7/26,С. 1-8, Глава 11, Раздел
14/26,С. 1-9].
2. Федорова В.Н. Медицинская и биологическая физика. Курс
лекций с задачами [Электронный ресурс]: учебное пособие. - М.:
ГЭОТАР-Медиа, 2010. - ISBN 978-5-9704-1423-1. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970414231-0003.html
[Лекция 2, Раздел 4/37, C. 1-4].